Kamis, 25 Agustus 2016

Integral

Integral adalah sebuah konsep penjumlahan secara berkesinambungan dalam matematika, dan bersama dengan inversnya,diferensiasi, adalah satu dari dua operasi utama dalam kalkulus. Integral dikembangkan menyusul dikembangkannya masalah dalam diferensiasi di mana matematikawan harus berpikir bagaimana menyelesaikan masalah yang berkebalikan dengan solusi diferensiasi. Lambang integral adalah {\displaystyle \int \,}.


Bila diberikan suatu fungsi f dari variabel real x dengan interval [a, b] dari sebuah garis lurus, maka integral tertentu 
{\displaystyle \int _{a}^{b}\!f(x)\,dx\,}
didefinisikan sebagai area yang dibatasi oleh kurva f, sumbu-x, sumbu-y dan garis vertikal x = a dan x = b, dengan area yang berada di atas sumbu-x bernilai positif dan area di bawah sumbu-x bernilai negatif.
Kata integral juga dapat digunakan untuk merujuk pada antiturunan, sebuah fungsi F yang turunannya adalah fungsi f. Pada kasus ini, maka disebut sebagai integral tak tentu dan notasinya ditulis sebagai:
{\displaystyle F=\int f(x)\,dx.}

Prinsip-prinsip dan teknik integrasi dikembangkan terpisah oleh Isaac Newton dan Gottfried Leibniz pada akhir abad ke-17. Melaluiteorema fundamental kalkulus yang mereka kembangkan masing-masing, integral terhubung dengan diferensial: jika f adalah fungsi kontinu yang terdefinisi pada sebuah interval tertutup [a, b], maka, jika antiturunan F dari f diketahui, maka integral tertentu dari f pada interval tersebut dapat didefinisikan sebagai:
{\displaystyle \int _{a}^{b}\!f(x)\,dx=F(b)-F(a)\,}
Integral dan diferensial menjadi peranan penting dalam kalkulus, dengan berbagai macam aplikasi pada sains dan teknik.
DEFENISI FORMAL
Ada beberapa cara untuk mendefinisikan integral.

Integral Riemann

Integral Riemann adalah konsep integral yang dasar. Definisi itu mudah dan berguna khususnya untuk fungsi-fungsi yang kontinu atau kontinu 'titik demi titik'.

Integral Lebesgue

Integral Lebesgue merupakan suatu perumuman dari integral Riemann.

Mencari Nilai Integral

1. SUBSTITUSI

Contoh Soal

Cari nilai dari: {\displaystyle \int {\frac {lnx}{x}}\,dx\,}

{\displaystyle t=\ln x,dt={\frac {dx}{x}}}
{\displaystyle \int {\frac {lnx}{x}}\,dx\,=\int t\,dt}
{\displaystyle ={\frac {1}{2}}t^{2}+C}
{\displaystyle ={\frac {1}{2}}ln^{2}x+C}
{\displaystyle t=\ln x,dt={\frac {dx}{x}}}
{\displaystyle \int {\frac {lnx}{x}}\,dx\,=\int t\,dt}
{\displaystyle ={\frac {1}{2}}t^{2}+C}
{\displaystyle ={\frac {1}{2}}ln^{2}x+C}
2. Integrasi parsial
Integral parsial menggunakan rumus sebagai berikut:
{\displaystyle \int f'(x)g(x)\,dx=f(x)g(x)-\int f(x)g'(x)\,dx}
Contoh Soal;
Carilah Nilai Dari :
{\displaystyle \int \ln x\,dx\,}
{\displaystyle f'(x)=1,f(x)=x,g(x)=lnx,g'(x)={\frac {1}{x}}\,}
Gunakan Rumus Diatas
{\displaystyle \int \ln x\ dx=xlnx-\int x{\frac {1}{x}}\,dx\,}
{\displaystyle =xlnx-\int 1\,dx\,}
{\displaystyle =xlnx-x+C\,}
3. Substitusi Trigonometri
Bentuk
{\displaystyle {\sqrt {a^{2}-b^{2}x^{2}}}\,}
{\displaystyle {\sqrt {a^{2}+b^{2}x^{2}}}\,}
{\displaystyle {\sqrt {b^{2}x^{2}-a^{2}}}\,}
Gunakan
{\displaystyle x={\frac {a}{b}}\sin \alpha \,}
{\displaystyle \!\,x={\frac {a}{b}}\tan \alpha \,}
{\displaystyle \,x={\frac {a}{b}}\sec \alpha \,}
Contoh Soal:
Cari nilai dari: 
{\displaystyle \int {\frac {dx}{x^{2}{\sqrt {x^{2}+4}}}}\,}
{\displaystyle x=2\tan A,dx=2\sec ^{2}A\,dA\,}
{\displaystyle \int {\frac {dx}{x^{2}{\sqrt {x^{2}+4}}}}\,}
{\displaystyle =\int {\frac {2sec^{2}A\,dA}{(2tanA)^{2}{\sqrt {4+(2tanA)^{2}}}}}\,}
{\displaystyle =\int {\frac {2sec^{2}A\,dA}{4tan^{2}A{\sqrt {4+4tan^{2}A}}}}\,}
{\displaystyle =\int {\frac {2sec^{2}A\,dA}{4tan^{2}A{\sqrt {4(1+tan^{2}A)}}}}\,}
{\displaystyle =\int {\frac {2sec^{2}A\,dA}{4tan^{2}A{\sqrt {4sec^{2}A}}}}\,}
{\displaystyle =\int {\frac {2sec^{2}A\,dA}{4tan^{2}A.2secA}}\,}
{\displaystyle =\int {\frac {secA\,dA}{4tan^{2}A}}\,}
{\displaystyle ={\frac {1}{4}}\int {\frac {secA\,dA}{tan^{2}A}}\,}
{\displaystyle ={\frac {1}{4}}\int {\frac {cosA}{sin^{2}A}}\,dA\,}


Terima Kaish:)
di

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Langganan: Posting Komentar (Atom)